Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Vi er på opgave 48
Den siger at hvis kvadratroden af x er lagt til x, så er summen 42
Så lad os skrive det ud
Hvis kvadratroden af x er lagt til x, så er summen lig med 42
Hvilke af de følgende kunne være værdien af x?
Så de vil i virkeligheden bare løse ligningen
Så den nemmeste måde at gøre dette på er at skrive dette som et
andengradspolynomium som er lig med 0, og så faktorisere det
Så vi kunne skrive dette som kvadratroden af x plus x minus 42 er
lig med 0
Og lad lige tænke
Hvilke to tal giver 1 når jeg ligger dem sammen, og
minus 42 når jeg ganger dem?
Faktummet at når jeg ganger dem er det lig med minus 42
fortæller mig at en af dem må være positiv og en af dem
bliver nødt til at være negativ
Det er den eneste måde at når du ganger to tal
at du du kan få et negativt tal
Så en af dem bliver nødt til at være positiv, og en af dem bliver
nødt til at være negativ
Og når vi så ligger et positivt og negativt tal sammen
så finder du i virkeligheden forskellen mellem dem
Så forskellen mellem de to tal bliver nødt til at være 1, og
deres produkt skal være 42
Og jeg lagde mærk til at når jeg ser 42 tænker jeg øjeblikkeligt
oh, 6 og 7
6 gange 7 er 42
Og siden du får et positivt tal af at ligge dem sammen, så er 7
nok det positive tal og minus 6 eller 6 er nok det
negative tal
Så lad os prøve med det
x plus 7 gange x plus 6 er lig med 0
Og ja, 7 gange minus 6 er minus 42
Det er virkelig 7x plus minus 6 er lig med x.
Eller du kunne sige 7 plus minus 6 er lig med
coefficienten af x, hvilket er 1
Men ja, det virker
Og du kan gange dette ud og prøve det af
Og alt hvad jeg siger er ikke noget voodoo
Årsagen til at jeg siger at de til sammen skal give 1 er
fordi når du ganger det her ud, så vil det give
det ovenstående begreb
Dette 7 gange x plus nimus 6 gange det andet x
Det resultat giver giver altså ovenstående begreb når du ganger det ud
Dette begreb kommer fra x gange x
De minus 42 kommer fra de 7 gange minus 6
Sådan, nu er vi ved dette punkt
Vi siger: OK, hvordan får vi-- vi har to ting når
du ganger dem giver det 0
Tja, så det betyder at en af dem eller begge to bliver nødt til
at være lig 0
Så det betyder at x plus 7 er lig med 0, hvilket betyder
vi trækker 7 fra begge sider
Det betyder x er lig med minus 7
Eller x minus 6 er lig med 0
Addér 6 til begge sider. x er lig med 6. x er nu
6 eller minus 7
Og de har en af valgmulighederne der,
hvilket er valgmulighed A
Næste opgave
49
Hvilken kvantitet skal ligges til hver side af denne ligning
for at færdiggøre kvadratsætningen?
Så når du færdiggør en kvadratsætning så vil du gerne have det til
at ligne en-- du vil gerne have udtrykket på venstre side af lighedstegnet
til at ligne en kvadratsætning
Og hvad mener jeg med en kvadratsætning?
Så hvis jeg havde x plus a i anden, det er lig med x plus a
gange x plus a
Og det er lig med x gange x, x i anden
x gange det a, så det er plus ax
og nu dette a gange dette x
Så det er endnu et ax
Plus dette a gange dette a
Så plus a i anden
Og det er lig med x i anden
Plus-- vi har to af de her nu-- plus 2ax plus a i anden
Så vi vil have dette, we vil have venstre side til
at have denne form
Så kan vi sige dette er en kvadratsætning
Vi kan sige det er det samme som x plus a i anden
Så lad os tænke over hvordan vi kan gøre det
Hvis vi har x i anden minus 8x er lig med 5 og jeg et
mellemrum her af en bestemt grund fordi vi vil gerne indsætte
eller trække noget fra her så det ligner en kvadratsætning
Så tænk over det
Når vi har dette format, for at denne ting kan være en
kvadratsætning, uanset hvad koeficienten her er,
dette begreb lige her skal være halvdelen af dette, i anden
a i anden er halvdelen af 2a i anden
Så hvis vi tog halvdelen af minus 8, det er minus 4
I dette tilfælde, hvis vi sagde 2a er lig med 8, a
ville være minus 4
Og så ville minus 4 i anden være hvad?
Det er plus 16
Og dette er en ligning
Så en ting du gør ved den ene side af en ligning skal du også gøre ved
den anden side af en ligning
Så du bliver nød til at sige at dette også er lig med.
Så du bliver nød til at addere 16 til begge sider
Ellers ændrer du på ligningen
Så dette, forhåbentligt genkender du dette som allerede værende
en kvadratsætning
Jeg mener du kan kigge på mønsteret her oppe eller du kunne
sige, OK, hvis jeg adderer minus 4 med sig selv to gange får jeg minus 8
Hvis jeg ganger det med sig selv får jeg 16
Så dette er x minus 4 i anden
Det er lig med 25
Og det er faktisk, bare hvis du er nysgerrig-- og vi gjorde dette i
Khan Akademiet, vi har lavet et par videoer om det--
det her er hvordan du beviser andengradspolynomiet
Du gennemfører kvadratsætningen med abitrære tal
a,b og c, og du får andengradspolynomiet
Du ved, vi viser det på 10 minutter, så det er ikke
umuligt svært at forstå
De vil bare gerne vide, hvad ligger vi til begge sider af
denne ligning?
Hvilken kvantitet skal ligges til begge sider af denne ligning
for at færdiggøre dettte kvadratsætning?
Så svaret til dette var 16
Men du kunne lige så nemt have sagt løs dette ved
at færdiggøre kvadratsætningen
Og du ville sige oh, x minus 4 i anden er lig med 25
så x minus 4 er lig med plus eller minus 5.
Og så kunne du sige, x er lig med plus eller
minus 5 plus 4
Og så kunne du sige, OK, hvilket er 4 plus
5 er 9
4 plus minus 5 er-- eller, minus 1
Under alle omstændigheder, de spørger ikke om det, så behøves ikke
bruge så meget tid på at tænke over det
...
Lad os se, vi er ved opgave 50
Lad mig se, opgave 50
Jeg kopierer lige 50 og 51
Okay, hvad er løsningerne til andengradspolynomiet
x i anden plus 6x er lig 16?
Og fristelsen her er virkeligat få dig til at prøve at løse
den på samme måde du ville løse en linær ligning
Jeg ved ikke, fakorisere x ud og-- jeg ved det ikke,
gøre noget mere
Men det vigtige er at genkende dette som et
andengradspolynomium
Og den nemmste måde at løse det er at putte alle argumenter på
den ene side og dermed få et 0 på den anden side
Og så enten faktorisere det eller bruge
det aktuelle andengradspolynomium
Eller færdiggøre kvadratsætningen, hvad end du nu har brug for
Så lad os trække 16 fra begge sider
Og du får x i anden plus 6x minus 16 er lig med 0
Jeg trak bare 16 fra begge sider for at komme her til
Og før vi bare hopper ind i andengradspolynomiet lad os
se om ikke vi kan faktorisere det ved inspektion
Så hvilke to tal, når de bliver lagt sammen, er lig 6-- og vi
vil have positivt 6-- og når jeg ganger dem er lig med minus 16?
Og igen, siden det er et minus 16, hvis du ligger to
tal sammen får du et negativt tal
De har forskellige fortegn
En bliver nødt til at være positiv og en bliver nød til at være negativ
Og deres forskel vil være 6 fordi den ene er positiv og
den anden er negativ
Så lad mig tænke over det
Så hvis jeg havde minus-- tja, 8 og 2 er lig 16
Og de har en forskel på 6
Så hvis jeg brugte plus 8 minus 2-- ja.
Plus 8 og minus 2 er positivt 6
Så det er x plus 8 gange x minus 2
Og det kræver bare en masse øvelse
Du siger, OK, hvilke to tal?
16
OK
8 og 2
Tja de bliver nødt til at have forskellige fortegn
Men jeg har en positiv en her, så det tal tal
der er størst skal nok være det positive tal
Så 8 og minus 2
Ja, når du ligger dem sammen, så giver de minus 6
Ja, det virker
Så du sætter denne lighed til 0
Og du siger OK, dette må være lig med 0, eller det må være
lig med 0
Så x er enten lig med minus 8
Så hvis du siger x plus 8 er lig med 0 og dernæst trækker 8 fra begge
sider, så får du x er lig med minus 8
Jeg burde ikke have sprunget det skridt over, men
jeg vil udføre det her
Eller du kunne sige x minus 2 er lig med 0
Læg 2 til begge sider, så får du x er lig med 2
Hvilket x får dette begreb til at give 0?
Og du kunne se på det fra inspektion
Så x kan enten være minus 8 eller 2, og det er valgmulighed C
Opgave 51
Leanne svarede korrekt på ligningen x i anden plus 4x
er lig med 6 ved at færdiggøre kvadratsætningen
Hvilken ligning er del af hendes løsning?
OK, det samme igen
x i anden plus 4x
Og når du gennemfører kvadratsætningen skal du lægge
noget til her
Så jeg vil lade dette stå blankt
er lig med 6
Så hvad kunne jeg tilføje her som får dette udtryk til at se
ud som en kvadratsætning?
Tja, vi kan se på mønsteret vi lavede for et
par opgaver siden
Hvad end der er her skal være haldelen af dette i anden
Så 4-- tja, halvdelen af det er 2
2 i anden er 4
Så jeg skal ligge 4 til på denne side
Hvis jeg ligger 4 til på denne side, skal jeg ligge 4 til
på denne side også
Og nu har vi 2 plus 2 er lig med 4
2 gange 2 er lig med 4
Så dette er x plus 2 i anden
Og jeg vil virkelig gerne have i forstår det
Lad være med at huske hvert skridt uden ad for at færdiggøre kvadratsætningen
Jeg vil have i virkelig forstår hvorfor
Dette er halvdelen af dette i anden
Og vi viste det i starten
Hvis du omskriver en masse polynomier med to argumenter vil du se
at det altid vil være tilfældet
Okay, så dette er x plus 2 i anden
Det kommer til at være lig med-- 6 plus 4 er lig med 10
Og det er valgmulighed B
...
Jeg tror vi har tid til en mere
En opgave til, opgave 52
Nu har jeg lige kopieret den ind
Carter er ved at løse denne ligning ved faktorisering
Hvilket udtryk kunne være en af hans korrekte faktoriseringer?
Igen, jeg foretrækker at separere
tallet som indgår i dem alle sammen
Og alle disse kan divideres med 5
Og det simplificerer det i mit hoved
Så hvis jeg dividerer alle disse med 5-- faktisk, jeg kunne bare
dividere degge sider af ligningen med 5
0 divideret med 5 er 0
Og så den venstre side divideret med 5 bliver til 2x
i anden minus 5x plus 3 er lig med 0
Så hvis dette er 2x i anden her, så det kommer til at være to
tal når du ganger dem er det lig med 3 og så-- så
lad os tænke over det en lille smule
Faktisk, lad mig skrive det ned her fordi jeg tror jeg har brug for
mere plads
2x i anden minus 5x plus 3 er lig med 0
Og jeg dividerede begge sider af ligningen
med 5 for at få dette
Så lad os se hvad vi kan gøre her
Så vi har en 2x i anden og de har allerede
signaleret til os at vi får en heltalsløsning
Så vi kan faktorisere dette
Så forståelsen er at dette komemr til at være 2x gange-- du
ved, plus et eller andet
plus a
Gange-- tja, gange hvad?
Gange ikke, ikke?
2x gange x er 2x i anden
Det ville ikke være totalt tydeligt hvis de
ikke allerede havde fortalt os at vi kunne faktorisere dette
Du bliver måske nødt til at bruge en
andengradspolynomium eller noget
Faktisk, andengradspolynimiet ville ikke være noget
vanvittigt at benytte her fordi vi kan bare
Køre der ud af
Men lad os nu se om vi kan forstå teorien
Så det kommer til at være 2x plus noget gange x plus
noget andet
Hvis vi ville gange dette ud, ville du få 2x gange x er 2x
i anden ligesom det burde
2x gange b er plus 2bx
a gange x er plus ax
a gange b er plus ab
Og lad os så se hvad vi får
...
Så plus 2b plus ax plus ab
2x i anden
OK, nu kan vi lave mønster sammenligning
her er vores original
Så 2 gange b plus a bliver nødt til at være-- dette udtryk er
det samme som dette udtryk lige her
Og dette udtryk bliver nødt til at være det samme som
dette udtryk lige der
For det første, har jeg et tretal lige her
Så jeg ganger to tal for at få et positivt 3 tal
Så de skal begge være enten positive eller negative
Og så er der de andre interessante ting vi har-- når vi tager
2 gange en af dem plus den anden, får jeg
et negativt tal
Så den eneste måde når du har gang i negative tal,
og når du blot ganger det med et positivt tal og adderer dem
med hinanden får du et negativt tal, som var de
begge negative
Dette fortæller os de begge skal være negative
fordi dette er positivt
Og siden du ligger dem sammen uden nogen negative
tal og du får et negativt tal, så ved du at
tallene skal være negative
Så lad os se
Lad os prøve 3-- minus 3 og minus 1
Hivs minus 3 og minus 1
Så du har ret
Ja
Hvis b er lig med minus 1 og a er lig med minus 3, så
er 2 gange minus 1 er minus 2
Minus 3
Okay, så b er lig med minus 1 og a er lig med minus 3
Dette er lidt af en kunst art det her
Jeg mener, det er ikke muligt bare følge et mønster på en meget mekanisk måde
at gøre dette på
Andengradsplynomiet er en måde at gøre det på, men dette er den bedste måde at
så vidt jeg ved, at gøre det uden
Så vi ved hvad a og b er
Så det er 2x-- a er minus 3
2x minus 3 gange x plus b. b er minus 1
Så det er faktorisering
Så 2x minus 3 gange x minus 1, hvilken en?
De har denne lige her
2x minus 3
Og jeg har ikke mere tid tilbage
Vi ses i næste video