Tip:
Highlight text to annotate it
X
I en af de tidligere videoer lærte vi, at en faktor opløftet i 0 er lig med 1.
x i nulte er altså lig med 1.
Vi kom også med en grund til, at det er sådan.
Vi brugte et eksempel, hvor vi sagde, at 3 i første
er lig med 3.
3 i anden er lig med 9.
3 i tredje er lig med 27.
Hver gang vi trækker 1 fra eksponenten, dividerer vi med 3.
27 divideret med 3 er 9.
9 divideret med 3 er 3.
3 divideret med 3 er 1.
Det er netop, hvad 3 i nulte er.
Det er én måde at se det på.
Den anden måde at se det på er,
at det bliver nødt til at være sådan for, at regnereglerne med eksponenter virker, som de skal.
Vi har tidligere gennemgået, at a opløftet i b gange a opløftet i c
er lig med a opløftet i b plus c.
Hvad sker der så, hvis c er 0?
Hvad sker der, hvis vi har a opløftet i b gange a opløftet i 0?
Det må være lig med a opløftet i b plus 0,
hvilket er lig med a opløftet i b.
a opløftet i b gange a opløftet i 0 er altså lig med a opløftet i b.
Vi omskriver lige udtrykket her.
a opløftet i b gange a opløftet i 0
må være lig med a opløftet i b, fordi b plus 0 er b.
Hvad får vi, hvis vi dividerer med a opløftet i b på begge sider?
På venstre side må vi bare få
a opløftet i 0.
De her går ud med hinanden.
a opløftet i 0 er lig med 1.
Man kan bruge samme argument i næsten alle eksponentregneregler,
fordi alt opløftet i nulte er 1.
.
Det giver også mening, at vi dividerer med 3,
når eksponent bliver 1 mindre.
.
Vi så i sidste video,
at 3 i minus første er lig med 1 over 3 i første
eller bare 1/3.
Når man går fra 3 i nulte til 1/3,
ganger man igen bare med 3.
Det giver derfor god mening,
at 3 i nulte er lig med 1.
Det efterlader dog et lille hul,
for hvad er egentlig 0 i nulte?
Det er ikke et udtryk, man ser særlig ***.
0 ganget med sig selv 0 gange.
.
Nogle siger, at 0 i nulte ikke kan defineres,
men de fleste gange
vil 0 i nulte være defineret som 1.
Hvis man prøver at google 0 i nulte,
vil man se,
at Google giver svaret 1.
Selvom det overhovedet ikke virker åbenlyst,
er det defineret som 1, fordi det får mange formler
til at give det rigtige resultat.
Et eksempel på det er binomialformlen,
hvor det fungerer med de binomiale koefficienter,
når 0 i nulte giver 1.
Det skal man nok tænke lidt over,
før man forstår, hvad det egentlig betyder.
Lad os i stedet snakke om nogle andre egenskaber ved eksponenter,
så vi kan bruge de forskellige regneregler i nogle opgaver.
I sidste video lærte vi,
hvad det vil sige at opløfte noget i et negativt tal.
a i minus første, eller måske vi skulle sige a opløftet i minus b,
er lig med 1 over a opløftet i b.
Lad os gøre det ned nogle konkrete eksempler.
3 i minus tredje er lig med 1 over 3 i tredje,
hvilket er lig med 1 over 3 gange 3 gange 3,
hvilket er 1 over 27.
Hvis vi i stedet har 1/3 opløftet i minus 2,
vil det være lig med 1 over 1/3 i anden.
.
Man kommer af med den negative del og får i stedet den inverse eksponent.
Det er lig med 1 over 1/3 gange 1/3.
1/3 gange 1/3 er lig med 1/9.
.
Det her er 1 divideret med 1/9,
og det er det samme som 1 gange 9, så det er lig med 9.
Det her giver god mening,
fordi 1/3 er det samme som 3 i minus første.
3 i minus første er lig med 1 over 3 i første,
hvilket er det samme som 1/3.
Hvis vi udskifter 1/3 med 3 i minus første,
er det her 3 i minus første i anden.
De her 2 udtryk er lig hinanden.
Hvis bruger en af de regneregler, vi lærte i den første video,
kan vi tage produktet af de 2 eksponenter.
.
Det her er lig med 3 i minus første gange minus 2,
hvilket er 2, og det er derfor lig med 9.
Det er ret interessant, hvordan alle de her regneregler med eksponenter passer sammen som et puslespil
uden at modstride hinanden.
.
Det er ligemeget, hvilken regneregel man bruger,
for man får det samme svar i sidste ende,
medmindre man laver noget helt skørt.
Til sidst skal vi kigge på,
hvordan man regner med en brøk som eksponent.
Vi har altså noget opløftet i en brøk.
Lad os sige, at vi har a opløftet i 1 over b.
.
Det er lig med den b'ende rod af a.
Lad os gøre det helt klart her.
Lad os lave et eksempel med nogle tal.
Hvis vi har 4 opløftet i 1/2,
er det lig med kvadratroden af 4.
Tager vi kvadratroden af 4,
giver det 2.
Hvis vi i stedet har 8 opløftet i 1/3,
skal vi tage kubikroden af 8.
Det her en af de mest forvirrende regneregler,
når man har med eksponenter at gøre.
Når vi tager kubikroden af 8, finder vi ud af,
hvilket tal der ganget med sig selv giver 8.
Hvis vi sagde, at x er lig med 8 opløftet i 1/3,
er det det samme som at sige,
at x i tredje er lig med 8.
Hvordan ved vi, at de her udtryk er lig med hinanden?
For at vise det
kan vi opløfte både venstre og højre side i tredje.
Vi opløfter altså både venstresiden og højresiden i tredje.
.
På venstre side får vi x i tredje,
og på højre side får vi 8 opløftet i 1/3 gange 3,
hvilket er 3 over 3, og det giver bare 1.
Nu skal vi finde ud af, hvad x er, når x er lig med 8 i 1/3.
2 gange 2 gange 2 er lig 8.
Der er ikke nogen nem måde at regne en kubikrod,
en fjerde rod eller en femte rod,
og man får *** decimaltal, når man regner med dem.
Ofte har man brug for en lommeregner, når man regner dem ud.
Dog kan udtryk som 8 i 1/3, 16 i 1/4 eller 27 i 1/3
godt regnes i hånden.
Det her er lig med 2.
Lad os gøre det hele lidt mere forvirrende nu.
Hvad er 27 opløftet i minus 1/3?
.
Vi udregner det trin for trin.
Når man har et tal opløftet i noget negativt,
er det her lig med 1 over 27 opløftet i 1/3.
De her 2 er lig hinanden.
Vi kommer af med den negative eksponent
og tager 1 over hele udtrykket.
Hvad er så 27 i 1/3?
Hvilket tal ganget med sig selv 3 gange giver 27?
Det må være 3.
Det her er altså lig med 1 over 3.
.
Nu gør vi det igen lidt sværere,
og det bliver nok også mere forvirrende.
.
Hvad er 8 i 2/3?
Det ser måske lidt skræmmende ud,
men man skal bare huske på,
at man skal bruge samme regneregler,
som man gør med 8 i 1/3.
Hvordan ved vi så det?
Hvis vi ganger de her 2 eksponenter, er det 2/3.
8 i 2/3 er det samme som at sige 8 i anden
og tage den tredje rod af det.
Man kunne også se på det på en anden måde.
Det her er også lig med 8 i 1/3 i anden.
Når vi ganger de her 2 eksponenter,
får vi 8 i 2/3 ligemeget hvad.
Lad os bevise,
at vi får den samme værdi i begge tilfælde.
8 i anden er 64.
Det skal vi opløftet i 1/3.
Hernede har vi 8 i 1/3.
Vi har allerede fundet ud af, hvad det er.
Det er 2, fordi 2 i tredje er 8.
Det er 2 i anden.
Hvad er så 64 i 1/3?
Hvilket tal ganget med sig selv 3 gange giver 64?
4 gange 4 gange 4 giver 64,
eller 4 i tredje er lig 64, hvilket betyder,
at 4 er lig med 64 i 1/3.
Det her er lig med 4.
Heldigvis er 2 i anden også lig med 4.
Det er altså ligemeget, hvordan man regner det ud.
Man kan enten opløfte det i anden og tage den tredje rod,
eller man kan tage den tredje rod og derefter opløfte det i anden.
Man får præcis det samme resultat.
I alle vores eksempler
har regnet med tal.
Lad os prøve at regne nogle opgaver,
hvor vi i stedet bruger variable.
Lad os sige, at vi vil regne nogle opgaver,
hvor der ikke er nogen negative eksponenter som resultat.
.
Lad os lægge x til minus 3 over x i minus syvende.
Der er mange måder, vi kan se det her på.
Vi kan se det som værende lig med x i minus 3
gange 1 over x i minus syvende.
Hvad er 1 over x i minus syvende?
Det er det samme som x i syvende, ikke?
Hvis vi har 1 over et eller andet,
kan man komme af med 1-tallet i tælleren ved at gøre eksponenten negativ.
Sætter vi derimod et minus foran minus 7,
får vi x i syvende.
Vi kan reducere det her til x i minus tredje
gange x i syvende.
Nu kan vi lægge eksponenten sammen, og det er x i fjerde.
Det var den ene måde.
En anden måde at se det på er,
at vi bare kunne have trukket eksponenterne fra hinanden.
Udtrykket heroppe er det samme som at sige
x opløftet i minus 3 minus minus 7.
.
Minus 3 minus minus 7 er lig med minus 3 plus 7,
hvilket er lig med x i fjerde.
Der er flere måder, man kan regne det ud på.
En tredje måde kunne være,
at vi siger x i minus tredje over x i minus syvende.
Hov, der skulle ikke stå minus x.
x i minus syvende.
x i minus tredje er det samme som 1 over x i tredje,
og det er udtrykket i tælleren.
Gange 1 over x i minus syvende,
så det her er lig med 1 over x i tredje gange x i minus syvende.
Nu kan vi lægge eksponenterne sammen, og det er lig med 1 over 3 minus 7,
hvilket er x i minus fjerde.
Vi vil gerne af med den negative del nu,
så vi får den inverse.
Det kan vi gøre ved at sætte minus foran minus 4,
så det i stedet er plus 4.
Ligemeget hvordan vi har regnet det ud,
får vi det rigtige resultat, hvis vi bare har brugt regnereglerne rigtigt.
Lad os regne en sidste opgave.
.
Vi har 3x i anden gange y opløftet i 3/2.
Det dividerer vi med x gange y opløfter i 1/2.
Igen er det her det samme som 3 gange x-udtrykket herovre,
så 3 gange x i anden over x gange y i 3/2
over y i 1/2.
Det er lig med 3 gange x i anden over x.
Hvad er det egentlig?
Eller x i anden over x i første kunne man også sige.
Det er lig med x opløftet i 2 minus 1.
Det her bliver y opløftet i 3/2 minus 1/2.
Hvad bliver hele udtrykket så?
Det bliver 3 gange x.
2 minus 1 er bare 1, og vi kan bare skrive x her.
1 gange 3/2 minus 1/2 er 2/2.
Det er y opløftet i 2/2.
2/2 er det samme som 1, og det er derfor det samme som y.
Vi får altså 3xy.
Det er altid rigtig god træning
at regne så mange opgaver så muligt,
men som vi lige har set i de forskellige eksempler,
kan man reducere næsten ethvert udtryk med eksponenter.
Det var det.
.