Tip:
Highlight text to annotate it
X
Vi har en masse kvadratrødder stående herovre.
Vi vil i den her video udregne og reducere kvadratrødderne.
Vi vil se, om kvadratrødderne giver rationale
eller irrationale tal.
Lad os starte med A.
I A står der kvadratrod 25.
Det er det samme som kvadratroden af 5 gange 5,
hvilket er lig med 5.
Vi taler om den positive kvadratrod i den her video.
Lad os kigge på B nu.
B laver vi i en anden farve.
I B har vi kvadratroden af 24.
Her skal vi lave en primfaktorisering
af tallet 24.
Lad os komme i gang.
24 er 2 gange 12.
12 er 2 gange 6.
6 er 2 gange 3.
Kvadratroden af 24 er altså det samme som
kvadratroden af 2 gange 2 gange 2 gange 3.
Det er det samme som 24.
Vi kan se, at vi har et kvadrattal stående her.
Vi kan omskrive det her.
Det er det samme som kvadratroden af 2 gange 2
gange kvadratroden af 2 gange 3.
Det her giver 2.
Det her er kvadratroden af 4.
Kvadratroden af 4 er 2.
Det her kan vi ikke faktorisere mere,
for vi har ikke et tal ganget med sig selv her.
Det her bliver altså kvadratroden af 6.
Vi kunne faktisk skrive det her som kvadratroden af 2
gange kvadratroden af 3.
Er tallene, vi har regnet os frem til så rationale eller irrationale?
Det her er rationalt.
A-delen kan udtrykkes som forholdet mellem to heltal.
Det vil sige 5/1.
Det er rationalt.
Det her er irrationalt.
Det vil vi ikke bevise i den her video,
men alt, der et produkt af irrationale tal
og kvadratrod af et primtal, er irrationalt.
Det beviser vi ikke her.
Kvadratroden af 6 er kvadratroden af 2 gange kvadratroden af 3.
Og det er det, der gør tallet irrationalt.
Vi kan ikke skrive det her tal som en brøk.
Vi kan altså ikke skrive det som et heltal over et heltal,
som vi gjorde heroppe.
Vi laver ikke noget bevis for det lige nu,
men vi skal lære, at det er sådan, det er.
Vi kunne også gøre det her på en hurtigere måde,
for vi kan sige, at 4 går op i det her.
4 er et kvadrattal.
Vi tager 4-tallet ud.
Det er 4 gange 6.
Kvadratroden af 4 er 2, og vi lader 6-tallet stå.
Vi ville få 2 gange kvadratroden af 6.
Sådan vil man kunne gøre det,
men vi gør det systematisk i første omgang.
Lad os lave C.
Kvadratroden af 20.
20 er 2 gange 10, hvilket er 2 gange 5.
Det er det samme som kvadratroden af 2 gange 2
gange 5.
Kvadratroden af 2 gange 2 er 2.
Det bliver altså kvadratroden af det her
gange kvadratroden af det her.
2 gange kvadratoden af 5.
Hvis man har prøvet det nogle gange, kan man måske regne det i hovedet.
Kvadratroden af 20 er 4 gange 5.
Kvadratroden af 4 er 2.
Vi lader 5-tallet stå i kvadratroden.
Lad os regne D.
Vi har kvadratroden af 200.
Samme fremgangsmåde som før.
Vi laver en primfaktorisering.
200 er 2 gange 100, hvilket er 2 gange 50,
hvilket er 2 gange 25, hvilket er 5 gange 5.
Vi kan omskrive det her.
Det er lig med kvadratroden af 2 gange 2 gange 2
gange 5 gange 5.
Vi har et kvadrattal her,
og vi har endnu et kvadrattal her.
Hvis vi skal skrive hele mellemregningen,
så er det her kvadratroden af 2 gange 2 gange kvadratroden af 2
gange kvadratroden af 5 gange 5.
Kvadratroden af 2 gange 2 er 2.
2 er ikke et kvadrattal, så kvadratroden af 2 skriver vi bare kvadratroden af 2.
Kvadratroden af 5 gange 5 kan vi skrive som kvadratroden af 25,
og det er lig med 5.
Nu kan vi flytte rundt på dem her.
2 gange 5 er 10.
10 gange kvadratroden af 2.
Igen er det her irrationalt.
Vi kan ikke skrive det som en brøk med et heltal i tælleren og nævneren.
Det er ikke et endeligt decimaltal,
så hvis vi prøvede at skrive tallet ned,
ville der blive ved med at være flere decimaler hele tiden.
Lad os lave E.
Kvadratroden af 2000.
Det gør vi hernede.
Vi skal altså finde kvadratroden af 2000.
Vi bruger samme fremgangsmåde som før.
Vi laver primfaktorisering.
2000 er 2 gange 1000, hvilket er 2 gange 500, hvilket er 2 gange 250.
Det er 2 gange 125, hvilket er 5 gange 25,
som er 5 gange 5.
Vi er færdige.
Det her er lig med kvadratroden af 2 gange 2, og vi skriver det i parenteser.
2 gange 2.
Gange 2 gange 2 gange 5 gange 5
gange 5 gange 5.
Vi har 1, 2, 3, fire 2-taller og tre 5-taller. Gange 5.
Hvad bliver det så?
Man kan skrive udtrykkene i parenteserne om.
Det her er 4, og det her er 4.
Vi har altså 4 to gange.
Det er det samme som kvadratroden af 4 gange 4
gange kvadratroden af 5 gange 5
gange kvadratroden af 5.
Det her er 4.
Det her er 5.
Det her er kvadratroden af 5.
4 gange 5 er 20 gange kvadratroden af 5.
Igen får vi et irrationalt tal,
fordi vi ikke kan skrive det som en brøk.
Hvis man først får øvet sig lidt på opgaver som de her,
kan man hurtigt udregne kvadratroden af rigtig mange tal uden at bruge lommeregner.
Lad os komme i gang med F.
Vi har kvadratroden af 1/4, og det kan vi også skrive som
kvadratroden af 1 gange kvadratroden af 4,
hvilket er lig med 1/2.
Det er rationalt,
for det er jo skrevet som en brøk.
Det er altså helt tydeligt et rationalt tal.
I G har vi kvadratroden af 9/4.
Kvadratroden af 9 over 4.
Samme fremgangsmåde som F.
Det er lig med kvadratroden af 9 over kvadratroden af 4,
hvilket er lig 3/2, og det er igen et rationalt tal.
Lad os lave H.
Kvadratroden af 0,16.
Man kan hurtigt regne det i hovedet,
hvis man ser,
at 0,16 er lig med 0,4 gange 0,4.
Vi gør det på en lidt mere systematisk måde,
som måske ikke er helt indlysende.
0,16 er det samme som
kvadratroden af 16/100.
Det er lig med kvadratroden af 16 over kvadratroden af 100,
hvilket er lig med 4/10, hvilket er lig med 0,4.
Lad os lave et par stykker mere af samme slags.
I I har vi kvadratroden af 0,1,
hvilket er lig med kvadratroden af 1/10, som er lig med kvadratroden af 1 over kvadratroden af 10,
hvilket er lig 1 over kvadratroden af 10.
10 er 2 gange 5,
så det hjælper os ikke rigtig.
Det er kvadratroden af 10.
Mange matematiklærere kan ikke lide, at man lader rodtegnet stå i nævneren.
1 over kvadratrod 10 er irrationalt,
fordi kvadratrod 10 er irrationalt.
Kvadratroden af 10 er et uendeligt langt decimaltal.
Hvis man prøver at regne det ud på sin lommeregner,
vil der blive ved med at være decimaler.
Lommeregneren vil afrunde decimaltallet,
fordi den ikke kan skrive alle decimalerne.
Man kan dog godt gøre det rationalt i nævneren,
og det viser vi lige.
Hvis vi vil af med kvadratroden i nævneren,
kan vi gange det med kvadratroden af 10
over kvadratroden af 10.
Vi får
kvadratroden af 10 over 10.
De to udtryk er lig hinanden, og de er begge to irrationale.
Hvis man dividerer et irrationalt tal med 10,
får man et nyt irrationalt tal.
Lad os lave J.
Vi har kvadratroden af 0,01.
Det er det samme som kvadratroden af 1/100,
hvilket er lig med kvadratroden af 1 over kvadratroden af 100,
hvilket er lig med 1/10 eller 0,1.
Det her er rationalt,
fordi det kan skrives som en brøk.
Den heroppe var også rational,
fordi det også kan skrives som en brøk og er et endeligt decimaltal.