Tip:
Highlight text to annotate it
X
..
I et kortspil anvendes 36 unikke kort, 4 kulører, ruder,
hjerte, klør og spar
med kortene fra 1 til 9 i hver kulør
En hånd vælges
En hånd er en samling af 9 kort, som kan sorteres
som spilleren vil
.
Hvor mange hænder af 9 kort er mulige ?
Lad os overveje det.
Der er 36 unikke kort ...
Der er 9 tal i hver kulør. og der er 4
kulører, 4 gange 9 er 36
Men lad os tænke over kortene som værende fra 1 til 36
og vi skal udvælge 9 af dem
Så det første jeg vil påpege er ... jeg har 9 pladser i min
hånd, ikke ?
1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Ikke?
Jeg vælger 9 kort ud til min hånd
Så for det første kort, hvor mange mulige kort
kan jeg vælge fra?
Ok, så der er 36 unikke kort så for den 1 plads
er der 36
Så nu er det en del af min hånd
for den anden plads, hvor mange kort vil der være
at vælge fra?
Da vi allerede har valgt et, så vil der kun være
35 kort at vælge fra
Og for den 3 plads er der 34 og
så fremdeles
Så er der 33 at vælge fra, 32,31,30,29 og 28.
Så vi kan sige der er 36 gange 35 gange
34 gange 33 gange 32 gange 31 gange 30 gange 29 gange
28 mulige hænder
Ok, dette ville være sandt hvis rækkefølgen havde betydning
Dette ville være sandt, hvis .... ....
Hvis jeg havde spar 9
her og en række efterfølgende kort
Det er så en hånd
..
som har kort 1, 2, 3, 4,
5,6,7,8.
jeg har 8 andre kort.
Og i en anden hånd har jeg 8 kort 1,2,3
4,5,6,7,8 og så har jeg spar 9 som det sidste.
Hvis vi tænker på dette som 2 forskellige hænder
fordi selvom vi har de eksakt samme kort er de
i en anden rækkefølge(permutation), så ville min beregning
give mening, fordi den var baseret på rækkefølgen
Men vi får at vide at kortene kan sorteres
som spilleren ønsker, så rækkefølgen er uden betydning.
Så vores udregning er for høj
Vi inkluderer samtlige ombytninger(permutationer) af rækkefølgen
der kan dannes fra de samme kort
Så for at vores udregning ikke skal være for høj er vi nødt til at dividere med
antallet af gange 9 kort kan arrangeres
Så vi er nødt til at dividere resultatet med antallet af gange 9 kort kan
arrangeres
Så på hvor mange måder kan 9 kort arrangeres?
Hvis jeg har 9 kort, og jeg skal udvælge 1 af de 9 kort
på den 1.plads, så betyder det jeg har 9 mulige kort
at lægge på den 1. plads
Og for den 2. plads kan jeg lægge 8 mulige kort
da jeg lagde et af kortene på den
1. plads, så jeg har 8 tilbage
derefter 7 så 6 så 5 så 4 så 3 så 2 så 1
For den sidste plads er der kun 1 kort
tilbage der kan lægges
Så dette tal her hvor man siger 9 gange 8
gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange 2
gange 1 .... eller vi kan starte med 9 og gange med alle
positive heltal mindre end 9.
Man kan vel sige hvert naturligt tal mindre end 9 (0 undtaget)
Dette kaldes 9 fakultet, og man noterer det med et
udråbstegn.
Så hvis vi overvejer alle de forskellige måder ....
... alle de forskellige "kombinationer" der kan dannes for
hænder af 9 kort, så er dette antallet af hænder hvis vi tillægger
rækkefølgen betydning, men vi ønsker at dividere dette med antaller af måder
vi kan arrangere kortene på, så vores udregning ikke er for høj
Og dette vil være et svar og dette vil
være det korrekte svar.
Dette er et meget stort tal
Lad os regne på hvor stort dette tal er
Vi har 36 .....
gange 35 gange 34 gange 33 gange 32 gange 31 gange 30
gange 29 gange 28 divideret med 9
...
Jeg anvender parenteser ... divideret med .. (parentes begyndt) 9
gange 8 gange 7 gange 6 gange 5 gange 4 gange 3 gange
gange 2 gange 1
Lad os se hvad lommeregneren siger
Og vi fik tallet 94.143.280
Lad mig flytte lommeregneren så i kan læse det
Så dette tal lige her gav os 94.143.280
Så det er løsningen på vores problem
Der er 94.143.280 mulige hænder af 9 kort
i denne situation
Okay, vi har arbejdet os igennem det
Vi ræsonnerede os igennem det
Der er en formel der gør nøjagtig
den samme ting
Og den måde det betegnes på er:
Vi har en mængde af 36 elementer, og vi ønsker at udtrække 9 elementer
ikke?
Og vi er tillægger ikke rækkefølgen betydning, så dette skrives sommetider
binomialkoefficient ... n over k
Lad mig skrive det sådan
Så hvad gjorde vi her
Vi havde 36 elementer
Vi valgte 9
Så denne tæller her, det er 36 fakultet
Men 36 fakultet fortsætter ned til 27, 26, 25
og så fremdeles
Men vi stoppede 9 pladser væk fra 36
Så det er 36 fakultet, det er denne del her
denne del er ikke bare 36 fakultet
Det er 36 fakultet divideret med (36 minus 9) fakultet
Hvad er 36 minus 9?
Det er 27
Så 27 fakultet, lad os tænke over det .. 36
fakultet, det er 36 gange 35 .. og videre til
28 gange 27 og så fremdeles frem til 1
Det er 36 fakultet
Ok hvad er 36 minus 9
fakultet, det er 27 fakultet
Så når vi dividerer med 27 fakultet ... 27 fakultet er 27
gange 26 hele vejen ned til 1
... så dette og dette er den samme ting
det er 27 gange 26 som går ud imod hinanden
Så når man dividerer 36 fakultet med (36 minus 9) fakultet
så får man produktet af de største 9 tal af 36 fakultet
Hvilket er præcis det vi har her
Så det er det
Og så dividerede vi med 9 fakultet
.
Og dette her kaldes binomialkoefficienten af 36 over 9
og sommetider vil du se formlen skrevet sådan her
binomialkoefficienten af n over k
Og formlen skrives som n fakultet over
(n minus k) fakultet og i nævneren ganges der med k fakultet
Og dette er en generel formel, at hvis du har en mængde af n elementer og
du ønsker at finde alle de måder hvorpå du kan udvælge
k elementer fra n-element mængden and rækkefølgen
ikke tillægges en betydning.
Det eneste vi interesserer os for er k udplukkene og ikke
rækkefølgen af de udtagede k udpluk
Så det er hvad vi har gjort her