Domain of a Function

. Velkommen til videoen om definitionsmængden for en funktion. Hvad er definitionsmængden? Vi vil ofte snakke om definitionsmængden i sammenhæng med værdimængden. Definitionsmængden er alle de værdier, vi kan putte ind i en funktion og få en ny værdi ud af funktion. Lad os starte med nogle eksempler. Lad os sige, at vi har f af x, som er lig med x i anden. . Lad os stille et spørgsmål. Hvilke x-værdier kan vi putte ind i funktionen, så vi får en outputværdi? Vi kan putte alle reelle tal ind i den her funktion. Her er definitionsmængden altså alle x'er, som er en del af de reelle tal. Det her er en smart måde at skrive det på. Det her r betyder de reelle tal. Vi har tidligere snakket om de relle tal. Det er alle tal undtagen de komplekse tal. Vi behøver endnu ikke vide, hvad komplekse tal er. Det er lidt kompliceret. De reelle tal kender de fleste mennesker. Det inkluderer irrationelle tal, det inkluderer transcendente tal, det inkluderer brøker, og i virkelig er alle de tal, vi kender, reelle tal. Her er definitionsmængden altså alle de x-værdier, der er reelle tal. Det her omvendte e, eller hvad det er, betyder, at x er en del af de reelle tal. Lad os prøve at lave et eksempel mere. . Lad os sige, at f af x er lig med 1 over x i anden. Er det, det samme nu? Kan vi stadig putte alle de reelle tal ind i funktionen og få en værdi ud af den? Hvad med f af 0? Vi skal lige have fat i skriveværktøjet. f af 0 er lig med 1 over 0. Hvad er 1 over 0? Det ved vi ikke, hvad er. Det er ikke defineret. Der er aldrig nogen, der har defineret, hvad 1 over 0 er. Der er mange, der har prøvet at definere det, men der er endnu ingen, der har fundet en god definition, som passer med resten af vores matematik, for hvad 1 over 0 giver. 1 over 0 er altså ikke defineret. Derfor er f af 0 ikke defineret. Vi kan altså ikke få en værdi ud af funktionen, hvis vi putter 0 ind i den. Definitionsmængden er altså lig med. Vi skriver de her tuborgklammer for at vise, hvilke x-værdier vi kan bruge. De hedder tuborgklammer, fordi de ligner en tuborgflaske. x er en del af de reelle tal, men x må dog ikke være lig med 0. Det her er altså kun en lille smule anderledes end før. Før sagde vi, at x kunne være lig med alle reelle tal, når f af x var lig med x i anden. Nu siger vi, at x kan være lig med alle reelle tal udover 0. Det her er en smart måde at skrive det her på, og de her tuborgklammer viser, at det her en mængde. Lad os lave et par eksempler mere. Lad os sige, at f af x er lig med kvadratroden af x minus 3. Heroppe er funktionen altså ikke defineret, når vi får 0 i nævneren. Hvad er interessant ved den her funktion? Kan vi tage kvadratroden af et negative tal? Indtil vi lærer om imaginære og komplekse tal, kan vi i hvert fald ikke. Det her gælder altså for alle x-værdier, der ikke får udtrykket under kvadratrodstegnet til at blive negativt. Vi kan altså sige, at x minus 3 skal være større end eller lig med 0. Vi kan godt tage kvadratroden af 0. Det er 0. x minus 3 skal altså være større end eller lig med 0, så x skal være større end eller lig med 3. Her er vores definitionsmængde alle de reelle tal, der opfylder, at x er større end eller lig med 3. . Lad os lave en, der er lidt sværere nu. Nu har vi f af x er lig med kvadratroden af den absolutte værdi af x minus 3. Nu bliver det lidt kompliceret. Ligesom før skal udtrykket under kvadratrodstegnet selvfølgelig være større end eller lig med 0. Den absolutte værdi af x minus 3 skal altså være større end eller lig med 0. Vi har den absolutte værdi af x minus 3 skal være større end eller lig med 3. Hvis den absolutte væri af x skal være større end eller lig med 3, skal x være mindre end eller lig med minus 3, eller x skal være større end eller lig med 3. Det giver mening. Hvad sker der, hvis x er lig med minus 2? Den absolutte værdi af minus 2 er mindre end 3, så det vil give en negativ værdi for udtrykket. x skal altså være mindre end eller lig med minus 3. x skal være et mindre tal end minus 3, eller x skal være et større tal end plus 3. Vi har altså x skal være mindre end eller lig med minus 3, eller x skal være større end eller lig med 3. Nu har vi vores definitionsmængde. x skal være en del af de reelle tal. Hov, der skal vist være en streg her. Det har vi også byttet lidt rundt på i de andre eksempler. Det skal ikke være et kolon. Det gør ikke så meget, men det er en streg, der skal være. x kan være alle reelle tal, så længe x er mindre end eller lig med 3, eller x er større end eller lig med 3. . Lad os stille et spørgsmål. Lad os lave funktionen lidt om. Det heroppe var en anden opgave. Nu har vi 1 over kvadratroden af den absolutte værdi af x minus 3. Hvordan ændrer det vores situation? Det ændrer situationen for udtrykket her i nævneren. Tidliger skulle det være større end eller lig med 0, men kan det være 0 nu? Det kan det ikke, fordi kvadratroden af 0 er 0, og så ville vi have 0 i nævneren. Det her er altså næsten en kombination af de her 2 opgaver. . Nu har vi 1 over kvadratroden af den absolutte værdi af x minus 3. Det udtryk skal ikke længere være større end eller lig med 0. Det skal være større end 0 nu. Det må ikke længere være 0. Vi kan nemlig ikke have 0 i nævneren. Hvis det skal være større end 0, skal vi skrive større end 3. Vi skal af med lig-med-tegnet her. Lad os slette dem ordenligt. . Vi sletter dem altså. Sådan. Nu har vi fundet definitionsmængden for den nye funktion. Lad os lave et eksempel mere. Jo flere eksempler, jo bedre bliver til det her. Lad os slette det her. Sådan. Lad os nu sige, at f af x er lig med 2, når x er lige, og f af x er lig med 1 over x minus 2 gane x minus 1, når x er ulige. Hvad er definitionsmængden? Hvilke x-værdier kan vi putte ind i den funktion? Vi har altså 2 forskrifter. Når x er lige, er det den her forskrift, vi bruger. f af 4 er altså lig med 2, fordi vi bruger den her forskrift. Det er dog den her forskrift, vi skal bruge, når x er ulige. I hvilke situationer vil vi ikke kunne definere en funktionsværdi? Det vil vi ikke kunne, når nævneren er 0. Nævneren er lig med 0, når x er lig med 2 eller 1. Det her gælder dog kun, når x er ulige, så x er lig med 2 vil ikke være et problem. Det er kun x er lig med 1, der ville være et problem i forhold til den her forskrift. Definitionsmængden er altså alle de x-værdier, der er reelle tal, udover x er lig med 1. Nu har vi vist ikke mere tid. Held og lykke med at løse opgaver med definitionsmængden. .