Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Lad os løse nogle tekstopgaver,
som i virkeligheden har med en linjes hældning at gøre.
Nogle kalder det her for modeller med ligefrem proportionalitet.
Det er fordi,
vi modellerer det, vi bliver fortalt i opgaven.
At modellere er noget man gør meget i matematikken,
specielt hvis beskæftiger sig med det på et højt niveau.
Lad os se, hvad vi bliver spurgt om.
Den nuværende standard for vandbesparende brusehoveder
er 2,5 gallons i minuttet.
.
Vi skal udregne, hvor lang tid det tager
at fylde et badekar på 30 gallons med sådan et brusehoved.
.
Her kan vi lave en model med ligefrem proportionalitet.
Det lyder kompliceret,
men det betyder, at vi laver en ligning,
der beskriver, hvor mange gallons vi har fyldt op
efter et givent antal minutter.
Gallons er altså lig med hastigheden,
vi fylder op med.
Det er 2,5 gallons per minut
gange antallet af minutter.
.
Vi bruger m for minutter og g for gallons.
Nu har vi lavet vores model med ligefrem proportionalitet.
Det er ikke sværere end det.
Vi har nu en ligning,
som vi giver et antal minutter. Det bliver ganget med 2,5,
fordi det er opfyldningshastigheden.
Efter 1 minut har vi altså 1 gange 2,5, så vi har 2,5 gallons.
Efter 2 minutter har vi 2 gange 2,5, så vi har 2,5 gallons.
Det her er vores model.
Det er faktisk også en linje.
Standardformen for en linjes ligning er y er lig med mx plus b.
Her har vi ikke noget b.
b er væk.
Vi har kun m gange x.
x her er minutter, og y er gallons.
Stigningen er altså 2,5.
Lad os afbilde det, før vi besvarer spørgsmålet.
Nu kalder vi ikke det her for x-aksen.
Den uafhængige variabel her er minutter.
Vi kalder det derfor m-aksen
for minutter.
I stedet for at kalde den lodrette akse y-aksen
kalder vi den g-aksen for,
hvor mange gallons vi har fyldt op.
Vi kigger kun på den positive kvadrant,
fordi man ikke kan have et negativt antal minutter.
Hvad sker der her?
Vi har en stigning på 2,5.
Vi kan også skrive gallons er lig med 2,5, som er det samme som 5 over 2 gallons i minutttet
gange minutter.
Hældningen er altså 5 over 2.
2,5 og 5 over 2 er det samme tal.
Vi ved, at vores y-skæringspunkt er 0.
Der er ikke noget b her.
Vi kunne skrive plus 0.
Vi starter altså her.
Det er vores y-skæringspunkt.
For hver 2 vi går til højre, skal vi gå 5 op.
Vi bevæger os altså 2 på x-aksen,
og vi bevæger os 1, 2, 3, 4, 5.
Ændringen i x er 2.
1, 2, 3, 4, 5 her.
Hvis ændringen i x er minus 2,
er ændringen i y minus 5.
Minus 2,
1, 2, 3, 4, 5.
Det fortsætter.
Til sidst vil vi nå herned.
Vores linje eller vores model ser altså sådan her ud grafisk.
Den bliver tegnet så godt som muligt.
Det er dog kun den første kvadrant,
der er vigtig.
Det giver ikke rigtig mening at tegne i den her kvadrant,
fordi vi ikke kan have negative minutter.
Det er underligt med negative minutter.
Vi koncentrerer os altså om den her.
Vi bliver spurgt,
hvor lang tid det tager at fylde et badekar på 30 gallons.
Desværre går vores graf ikke op
til 30 gallons her.
Det her oppe er 10 gallons,
så hvis den var 3 gange så høj,
kunne vi aflæse svaret.
Vi kan dog også løse det algebraisk.
Hvor mange minutter tager det?
Vi ved, at gallons skal være lig med 30.
Vi har altså 30 gallons
er lig med 2,5 gallons i minuttet gange minutter.
.
Nu skal vi isolere minutter.
Vi starter med at dividere begge sider med 2,5 gallons i minuttet.
Vi dividerer med 2,5 gallons i minuttet.
.
Vi beholder enhederne for at se,
hvad der sker.
De her går altså ud med hinanden.
Her står der 1.
Vi kan altså nu sige,
at det er lig med 30 divideret med 2,5.
Vi har gallons i tælleren.
.
Vi arbejder altså med enhederne
ligesom med rigtige tal.
Vi har gallons i minuttet i nævneren,
og hvis vi dividerer med den her brøk,
svarer det til at gange med den inverse.
Det er det samme
som at gange med minutter per gallon.
.
De her enheder var i nævneren,
og når vi flytter dem til nævneren, bytter v rundt på dem.
Gallons har vi altså både i tælleren og nævneren.
De går ud med hinanden.
Vi står altså tilbage med 30 divideret med 2,5 minutter.
Hvad er 30 divideret med 2,5?
et er lig med 12.
Det tager altså 12 minutter at fylde et badekar på 30 gallons.
Vi har vores minutter her.
12 minutter.
Lad os lave en opgave mere.
Amen bruger en vandslage
til at fylde sin nye svømmepøl
for første gang.
.
Han tænder vandslangen kl. 22. Lad os skrive det ned.
Han tænder vandslangen kl. 22,
og han lader den stå tændt hele natten.
Kl. 6 måler han dybden,
og han udregner, at pølen er 4/7 fuld.
Han starter altså kl. 22. Det her er tiden,
og det her er, hvor fyldt pølen er.
Pølen er selvfølgelig tom, når han starter.
Det er en ny svømmepøl.
Det får vi at vide.
Pølen er altså 0 fuld.
.
Der er absolut intet vand i den.
Kl. 6 måler han så, hvor fyld pølen er,
og den er 4/7 fuld.
Her er den 4/7 fuld.
Vi vil vide, hvornår pølen er helt fuld.
Vi skal finde ud af,
hvornår den er 1/1 eller 7/7 fuld.
.
Hvilket tidspunkt er det på?
For at finde ud af det skal vi lave en model,
ligesom vi gjorde før.
Vi kan sige, at fuldheden af pølen er lig med
en konstant gange mængden af tid,
der er gået.
.
Det her er tiden.
Lad os skrive det her.
.
Her er tiden 0.
Hvor mange time senere er det her?
Det her 8 timer senere.
Så er tiden 8.
Vi ved ikke, hvad tiden er her.
Den skal vi finde.
Når tiden er 0, kl. 22, har vi altså 0 gange k, og så er pølen 0 fuld.
Der er intet vand i den.
Når tiden er 8, har vi k gange 8. k er hastigheden,
som vi fylder pølen med.
k gange 8.
Så er pølen 4/7 fuld.
Nu kan vi finde ud af, hvad k er.
Vi kan finde vores proportionalitetskonstant
for den her model med ligefrem proportionalitet.
Det lyder meget kompliceret,
men vi siger faktisk kun,
at det her pølfyldningsprojekt kan blive beskrevet med en ligning.
Hvor fuld pølen er er ligefrem proportionalt
med mængden af tid, vandslangen har været tændt.
Det her er vores proportionalitetskonstant.
Vi ved endnu ikke, hvor hurtigt pølen fyldes,
men det kan vi finde ud af.
Det kan vi, fordi vi ved, at pølen efter 8 time er 4/7 fuld.
For at isolere k skal vi altså dividere begge sider med 8.
Vi får k er lig med 4/7 fuld divideret med 8 timer,
som er det samme som 4/7 gange 1/8 fuld per time.
Lad os se.
Vi dividerer med 4 her,
og vi dividerer med 4 her.
Så får vi 1/14 fuld per time.
Det er en mærkelig enhed. Fuld per time.
Vi kan sige, at pølen fyldes 1/14 per time.
k er altså 1/14.
Nu kan vi skrive vores ligning.
Hvor fuld pølen er er lig med 1/14 gange tiden.
Vi skal altså spørge os selv,
hvornår det her er lig med 1.
Ved hvilket tidspunkt?
Lad os lave en ligning.
Vi har altså 1.
1 betyder, at pølen er helt fuld.
Det er lig med 1/14 gange tiden.
Vi kan gange begge sider af ligningen med 14,
og så går 1/14 og 14 ud med hinanden.
Vi står tilbage med t er lig med 14.
Pølen vil altså være fyldt efter 14 timer.
Husk, at vi arbejdede med timer her.
Hvad er klokken 14 timer
efter kl. 22?
Når vi når til kl. 10 næste dag,
er der gået 12 timer.
Sådan kan man tænke på det.
Vi skal 2 timere længere, før der er gået 14 timer.
Det er kl. 12 næste dag.
Kl. 12 dagen efter, påfyldningen af pølen blev begyndt,
er den altså fuld.
Det kan vi afbilde.
Vi har et koordinatsystem her.
Lad os tegne grafen her.
Ligningen her er
1/14 gange t.
Lad os gå ud fra, at hver af de her firkanter er 2.
Det her er 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.
Det her fortæller, at når vi bevæger os 14 til højre, stiger vi 1.
Hvis ændringen i x er 14, er ændringen i y altså plus 1.
Her laver vi enheden, så det bliver 1, 2.
Der er altså ikke samme enhed på de 2 akser.
Det her er altså 1.
Grafen vil se nogenlunde sådan her ud.
Sådan.
Dens hældning er 1/14.
Forhåbentlig var det her brugbart.
.