Tip:
Highlight text to annotate it
X
Lad os sige, at vi har ligningen y er lig med x plus 3
og ved hjælp af en graf vil vise alle sæt af
koordinaterne, x komma y, som opfylder ligningen.
Vi har tegnet en linje i et koordinatsystem mange gange før.
Vi tegner først akserne.
Det her er vores y-akse.
Det her er vores x-akse.
Udtrykket er allerede af formen a gange x plus b,
så vi kan aflæse linjens hældning og dens skæring med y-aksen.
Skæring med y-aksen er her lig med 3, og
hældningen her er 1.
Linjen kommer til at se sådan ud.
Den skærer i punktet 0 komma 3.
Vi har en hældning på 1, så hver gang vi går 1 til højre,
går vi 1 op.
Linjen kommer til at se nogenlunde sådan ud.
Linjen ser nogenlunde sådan ud.
Det er en god tilnærmelse.
Linjen vil se sådan ud.
Husk, at når vi tegner linjen,
er hvert punkt på linjen en løsning til ligningen.
Det repræsenterer et x,y-par,
der er løsning til den her ligning.
For eksempel, når x er lig med 5,
kan vi se på vores linje at for x lig med 5
er y lig med 8 løsningen.
Det er et punkt på linjen.
Linjen viser løsninger til den her ligning.
Alle de her koordinater er løsninger til
y er lig med x plus 3.
Lad os sige, at vi har en anden ligning.
Lad os sige, at vi har en ligning, der er lig med
y lig med minus x plus 3.
Vi vil igen lave en graf over alle de x,y-værdier,
der er løsninger til den her ligning.
Vi kan gøre det på den samme måde.
Den her har også en skæring med y-aksen på 3 lige her.
Hældningen er minus 1.
Det er nogenlunde den linje her.
Hver gang vi bevæger os 1 til højre,
skal vi bevæge os 1 ned.
Hvis vi går til højre et par gange, skal vi også gå
et par gange ned.
Sådan her vil ligningen se ud.
Hvert punkt på den her linje repræsenterer et x,y-par,
som er en løsning til ligningen.
Hvis vi blev spurgt, om der er et x,y-par,
som er en løsning til begge ligninger, hvordan gør vi så?
Er der et punkt eller koordinatsæt, der er en løsning til begge lininger?
Lad os se på det.
Alt det, der er løsning til den første ligning, er på den
grønne linje her, og alt, hvad der er løsning til den
lilla funktion, er på den lilla linje.
Hvad er en løsning til begge?
Det er, hvis der er et punkt, der er på begge linjer
eller et punkt, hvor linjerne skærer hinanden.
I det her eksempel er det her punkt på begge linjer.
Det er tilfældigvis også skæringen på y-aksen.
Punktet 0 komma 3 er på begge linjer.
Det koordinatsæt, eller det x,y-par, er en løsning til begge ligninger.
Lad os tjekke det.
Når x er 0 her, er 0 plus 3 lig med 3.
Når x er 0 her, er 0 plus 3 lig med 3.
Det er en løsning til begge ligninger.
Vi har lige set, hvordan vi løser et ligningssystem med en grafisk metode.
Et ligningssystem.
Lad os skrive det her.
Det betyder bare, at vi har flere ligninger sammen.
Hver af dem begrænser vores x'er og y'er.
I det her tilfælde er y lig med x plus 3, og i
det andet er y lig med minus x plus 3.
Den ene ligning er en linje i vores koordinatsystem,
og den anden er også en linje i koordinatsystemet.
Hvis vi vil vide, hvilke x- og y-værdier, der er løsninger til begge linjer,
er det punktet, hvor de to linjer krydser hinanden.
En måde at løse et ligningssystem er altså
at tegne begge linjer, altså begge ligninger,
og finde deres skæringspunkt.
Det vil så være en fælles løsning for begge ligninger.
I de næste videoer skal vi se på andre måder at løse det,
hvor man ikke behøver at lave en graf.
Først skal vi dog forstå den grafiske måde at løse ligninger på.
Lad os lave en til.
Lad os sige, at vi har y er lig med 3 gange x minus 6.
Det er den ene af vores ligninger.
Lad os sige, at den anden ligning er
y er lig med minus x plus 6.
Ligesom vi gjorde i den anden video, tegner vi dem begge.
Lad os tegne begge 2.
Vi gør det så præcist, vi kan.
Vi tegner begge 2.
Sådan.
Lad os inddele aksen.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Og så 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Vi burde bare have kopieret et koordinatsystem og indsat det,
men det her skal nok gå.
Lad os tegne den lilla ligning lige her.
Skæring med y-aksen er minus 6.
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Det er altså y er lig med minus 6.
Hældningen er 3.
Hver gang vi går 1 til højre, går vi 3 op.
Vi gik 1 til højre, og vi går
1, 2, 3 op.
Det er 3, ikke?
1, 2, 3.
Linjen, som beskriver ligningen, ser sådan ud.
Det ser ud til, at den skærer i 2 komma 0,
hvilket er rigtigt.
3 gange 2 er 6. 6 minus 6 er 0.
Vores linje vil se nogenlunde sådan ud.
Det er den linje her.
Hvad med den linje?
Vores skæring med y-aksen er plus 6.
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Vores hældning er minus 1.
Hver gang vi går 1 til højre, går vi 1 ned.
Hver gang vi går 1 til højre, går vi 1 ned.
Hvor vil den skære? Lad os se.
Når y er lig med 0, er x lig med 6.
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Lige her.
Linjen vil se sådan ud.
Grafen, som vi ønskede at tegne, er så præcis, som den kan blive.
Så skal vi stille os selv det samme spørgsmål.
Hvilket x,y-par er en løsning til begge ligninger?
Vi kigger på det her. Det vil være det her punkt.
Punktet ligger på begge linjer.
Lad os se, om vi kan finde ud af, hvad punktet er.
Bare ved at kigge på grafen her, ser det ud til, at vi er ved
1, 2, 3 komma 1, 2, 3.
Det ser ud til, at det er det samme punkt her.
Det er punktet 3 komma 3.
Vi gør det ved at se på vores håndtegnede grafer,
så måske er det ikke så præcist.
Lad os tjekke svaret.
Vi skal tjekke, at hvis x er lig med 3, er y er lig med 3,
og det skal gælde for begge ligninger.
Hvis vi indsætter x lig 3 i den første ligning, får vi:
3 er lig med 3 gange 3 minus 6.
Det er 9 minus 6, hvilket jo netop er lig med 3.
3 komma 3 er altså en løsning til den øverste ligning.
Lad os så se, om det også er løsning til den nederste ligning.
Vi får 3 er lig med minus 3 plus 6,
og minus 3 plus 6 er lig med 3.
Selv med vores håndtegnede graf kunne vi finde
frem til punktet 3 komma 3 og så tjekke,
at det er løsningen til begge ligninger.
Vi var i stand til at løse ligningssystemet.
Når vi siger ligningssystemer,
mener vi bare flere ligninger med flere ubekendte.
De behøver ikke at have flere ubekendte, men de har ofte mere end 1 ubekendt.
Vi bruger hver ligning som en begrænsning til vores variable,
og vi prøver at finde skæringspunktet til de her ligninger
for at finde en løsning til dem alle.
I de næste videoer vil vi kigge på nogle andre måder at løse ligningssystemer på
i stedet for at tegne de 2 grafer og herefter at finde deres skæringspunkt.