Tip:
Highlight text to annotate it
X
Velkommen til Algebra: Lineære Ligninger 1.
Lad os starte med nogle opgaver.
Lad os sige, at vi har ligningen
5x er lig med 20.
Det ser måske lidt mærkeligt ud, hvis man ikke er vant til ligninger,
men hvis vi omformulerer det, er det faktisk en ret simpel opgave.
Det er det samme som
5 gange "spørgsmålstegn" er lig med 20.
Når vi skriver 5 foran x, betyder det, at vi ganger 5 med variablen.
Der står altså 5 gange x.
I stedet for et spørgsmålstegn skriver vi et x, så 5 gange x er lig med 20.
Det kan vi regne i hovedet. Hvilket tal ganget med 5 er 20?
Det tal må være lig med 4,
men vi vil gerne vil gøre systematisk, for det kan være et mere kompliceret tal end 5.
Vi har 5x er lig med 20.
Der er 2 måder, som er stort set er det samme.
Vi kunne dividere begge sider af ligningen med 5.
Hvis vi gør det, går 5'erne ud, og så står der kun et x tilbage på venstre side.
På højre side står der 20 divideret med 5, som er 4.
Det er løsningen.
Med den anden måde, som stort set er det samme, kunne vi sige
5x er lig med 20.
I stedet for at dividere med 5 kan vi gange med en femtedel.
Hvis man ser lidt nærmere på det, indser man, at det at gange med 5 og dividere med en femtedel er det samme.
At dividere med et tal er det samme som at gange med 1 over dét tal.
Det giver det samme. En femtedel gange 5 er 1.
Vi får igen, at x er lig med 4.
Nogen kan bedste lide metoden til højre,
fordi det er brøker, og det er lettere, når vi ganger med den omvendte brøk.
Det er nemt at gange et tal med den omvendte brøk.
Lad os tage en opgave, hvor der er brøker med, så vi kan se, hvad det betyder.
Lad os sige, at vi har en minus 3 over 4 gange x er lig med 10 over 13.
Det er en sværere opgave, som vi ikke kan løse i hovedet.
Det er minus 3 fjerdedele gange et ukendt tal x er lig med 10 over 13.
Hvis man spurgte nogen på gaden, hvad x er, ville de nok se helt forvirrede ud.
Vi skal bruge algebra til at at løse det.
Vi gør det samme. Vi ganger begge sider af ligningen med den omvendte brøk af koefficienten for x.
Koefficienten er svært ord, men det er bare det tal, som ganges med x.
Hvad er den omvendte brøk af minus 3 fjerdedele?
Det er minus 4 over 3 gange. En prik er et af de tegn, som man kan bruge som gangetegn.
Man kan undre sig over, hvorfor der er så mange forskellige måder at skrive gange på i algebra.
Hvorfor ikke bare nøjes med et kryds som gangetegn?
Det er, fordi krydset ligner et x, som vi jo ofte bruger til at betegne den variable x.
Det kan lede til misforståelser,
og vi skriver derfor enten en prik mellem 2 konstanter,
eller vi skriver koefficienten lige foran den variable.
Hvis vi ganger på venstre side med minus 4 tredjedele,
skal vi gøre det samme på højre side af ligningen.
Minus 4 tredjedele.
På venstre side går de minus 4 tredjedele og de minus 3 fjerdedele ud med hinanden.
Man kan selv tjekke, at det giver 1.
Der er kun et x tilbage, og det er lig med 10 gange minus 4, som er minus 40.
I nævneren står der 13 gange 3,
som er lig med 39.
Vi får, at x er lig til minus 40 over 39.
Nogen kan bedst lide at beholde det som uægte brøker,
fordi det er nemmere at arbejde videre med dem,
men vi kunne godt omskrive det til et blandet tal,
og så er det minus 1 og 1/39.
Nogen foretrækker at beholde brøken på den her form.
Lad os tjekke, om vi har regnet rigtigt.
I algebra kan vi altid tjekke, om vi har regnet rigtigt.
Vi kan tage resultatet og sætte det ind i oprindelige ligning og tjekke, om resultatet passer.
Den oprindelige ligning var minus 3 fjerdedele gange x,
og vi indsætter vores løsning i stedet for x.
Alle steder, hvor der står et x, indsætter vi løsningen, som var minus 40 over 39,
og i den oprindelige ligning står der, at det er lig med 10 divideret med 13.
Vi skrev de minus 3 fjerdedele før parentesen,
og det er endnu en måde at skrive gange på.
Det er minus 3 gange minus 40.
Måske er det smartere, hvis vi forkorter det først.
De 4 i nævneren bliver til 1, og de 40 i tælleren bliver til 10.
Husk, at når vi ganger brøker sammen, kan vi forkorte det på den måde.
Det bliver plus 30, fordi vi har minus 2 gange. 3 gange 10 er 30.
Videre til nævneren. De 4 blev til 1, så det er 39.
30 divideret med 39 kan forkortes. Hvis vi dividerer tælleren og nævneren med 3,
får vi 10 over 13, som er det samme resultat,
som vi fandt i den oprindelige ligning.
Vi ved nu, at vi har det rigtige svar.
Vi tager en opgave mere.
Minus 5 sjettedele x er lig med 7 ottendedele.
Hvis man vil forsøge at løse den selv,
er det et godt tidspunkt at trykke på pause nu, for nu starter vi på løsningen.
Det er den samme type opgave.
Hvad er den omvendte brøk af minus 5 sjettedele?
Det er minus 6 over 5, og hvis vi ganger med det på venstre side,
skal vi også gøre det på højre side af lighedstegnet.
Minus 6 femtedele.
På venstre side går de minus 6 femtedele og de minus 5 sjettedele ud med hinanden.
Det er kun x tilbage.
Vi kan dividere både 6 og 8 med 2.
Det giver minus 3 og 4.
7 gange minus 3 er minus 21, og det er over 20.
Lad os lige hurtigt tjekke, at det er korrekt.
Minus 5 sjettedele gange minus 21 over 20.
Vi kan forkorte det.
De 5 kan vi forkorte til 1, hvis vi skriver 4 her.
Vi kan forkorte med 3 mere Nævneren bliver 2, og tælleren bliver 7.
Minus gange minus er plus, så det er 7.
2 gange 4 er 8.
Det passer.
Vi har regnet rigtigt.
Nu bør man være klar til at løse nogle ligninger selv.
God fornøjelse!